公式法求极限

公式内容

$$\begin{aligned} & 1\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,一\text{般式:}\lim_{\Delta\to0}\frac{\sin\Delta}{\Delta}=1\\ & 2\lim_{x\to\infty}\biggl(1+\frac{1}{x}\biggr)^{x}=\lim_{x\to0}\bigl(1+x\bigr)^{\frac{1}{x}}=e,一\text{般式:}\lim_{\Delta\to0}\bigl(1+\Delta\bigr)^{\frac{1}{\Delta}}=e\end{aligned}$$

$x\rightarrow0时,x=\sin x=\tan x$

公式证明

公式1

如图·，单位圆中

$B(\cos x,\sin x)$
$\therefore|BC|=\sin x\BE=x\DE=\tan x$
由图知：$sinx\frac{\sin x}{x}>\cos x\$
$x\rightarrow0时\1>\frac{\sin x}{x}>1\\therefore\frac{\sin x}{x}=1$
$\therefore\lim{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1,\lim{x\rightarrow0}\frac{x}{\sin x}=1$
这个公式是可换元的
x可以表示一个式子

公式2